CEBİRSEL DENKLEMLER
İçinde bulunduğumuz evrende a ve b nin aynı nesnenin iki gösterimi , iki adı olduğunu ifade etmek için a=b yazılır. İki gösterim aynı nesneyi belirtiyorlarsa bunlar eşitlenebilir. Buradan, eşitliğin kullanılması kuralları kendiliğinden ortaya çıkar: a=a (yansıma ) ; a=b ise b=a dır. (simetri) ; a=b ve b=c ise a=c dır (geçişlilik ). 2 = 1+ 1 , 2a= a+a , 2x=x + 1 bağıntılarını göz önüne alalım; = işaretinin yer aldığı bu üç matematiksel yazım arasındaki fark nedir? İlk yazımda hiç harf yoktur; yazım biçimsel olarak görülen 1 ile 2 den söz eder ve 2 nin ( 1 + 1 ) olduğunu öne sürer.
İkincisinde a harfi vardır ; bu harf bağıntının tanımlandığı A kümesinin her elemanını temsil eder ve bağıntı A nın her elemanı için 2a nın ( a + a ) olduğunu öne sürer.
Üçüncü bağıntı geçici olarak x ile gösterilen bir nesneden söz eder; bu nesnenin var olup olmadığı ve ne olduğu bilinmiyor ve x ‘e 1 eklenerek x’in iki katını elde etmek isteniyor. Bu bağıntı, tanımlı olduğu A kümesinin bir elemanınca gerçeklenmesi gereken bir zorlamanın veya özelliğin ifadesidir. Bu nedenle söz konusu ifade bir denklem olarak kabul edilir; denklemde, A kümesine ait belirli bir nesne olan, henüz adı bulunmayan ve bilinmeyeni temsil eden x harfi söz konusudur.
A kümesinin, 2x = x + 1 ifadesini doğrulayacak bir elemanı var mıdır? Denklemi çözmek, bu soruya cevap vermek, yani denklemin tanımladığı zorunluluğu gerçekleyen A’nın elemanlarını belirtmek demektir. Bu nedenle bir denklem ancak bir küme içinde çözülebilir.
Mesela, 2x - 1 =0 denklemini N tamsayılar kümesinde veya Q rasyonel sayılar kümesinde çözmek istenebilir. N tamsayılar kümesinde bu denklemin çözümü yoktur; Q rasyonel sayılar kümesinde ise çözüm vardır; bu çözüm 1/ 2 rasyonel sayısıdır. x² +1 =0 denkleminin ise, R gerçek sayılar kümesinde çözümü yoktur ( karesi negatif olan hiçbir gerçek sayı bulunmaz ), ama karmaşık sayılar kümesinde iki tane çözümü vardır. + i ve i sayılarıdır.
Somut bir problemin bir denklem halinde yazılması, verilerin dikkatli bir şekilde incelenmesini gerektiren hassas bir tekniktir. Denklem elde etmenin yararı, özellikle en klasik denklemler için, çözümün genel ve çoğunlukla otomatik yöntemler kullanılarak bulunabilmesidir. Ancak, derecesi 4’den büyük denklemlerin çözümünün zorluğu karşısında cebirin bir çıkmaza girdiği sanıldı. Bu problemin köklü bir değişime uğraması ve somut bir şekilde incelenmesi için Abel ve Galon gibi genç dahiler gerekiyordu. Bu sorun matematiği altüst etmiştir